Строится дискретная динамическая математическая модель процесса снабжения предприятия, включающая процесс закупки, складирования и передачи в производство сырья, материалов и комплектующих. Модель строится на основе структуры бухгалтерского учета, что позволяет легко идентифицировать параметры модели и интерпретировать результаты моделирования, а также приводится иллюстративный пример.

Одним из подходов к задачам планирования и прогнозирования производственных предприятий является применение динамических моделей финансово-хозяйственной деятельности предприятия, в основу которых положена структура бухгалтерского учета.

В статье на основе этих подходов построена более подробная дискретная математическая модель процесса снабжения предприятия, начиная от процесса закупок и до передачи сырья, материалов и комплектующих в производство. Эта модель может быть использована как в решении самостоятельных задач, связанных с процессом закупки сырья и материалов, так и встроена в более общую модель функционирования предприятия.

Математическая модель счета

В основу математической модели предприятия положена математическая модель бухгалтерского счета, которая в алгебраическом виде для активного счета описывается уравнением (1), а для пассивного счета уравнением (2):

S(t) = S(t – ∆t) + DT(t) – CT(t),                                                                                                   (1)

S(t) = S(t – ∆t) + CT(t) – DT(t),                                                                                                   (2)

где: S(t) — сальдо счета на текущий момент времени,

S(t – ∆t) — сальдо счета на предыдущий момент времени,

DT — оборот по дебету,

CT — оборот по кредиту,

∆t — интервал времени, соответствующий рассматриваемому периоду,

t — текущий момент времени.

Разница между активным и пассивным счетом обоснована тем, что принцип двойной записи отражает входящие и выходящие потоки только в положительном значении, поскольку в бухгалтерском учете отрицательные числа не используются. В нашей модели мы можем не разделять счета на активные и пассивные и описать математическую модель бухгалтерского счета в следующем виде:

S(t) = S(t – ∆t) + U_in(t) – U_out(t),                                                                                                     (3)

где: U_in — входящие средства за интервал ∆t,

U_out — выходящие средства за интервал ∆t.

Следует отметить, что в бухучете принято рассматривать заданные интервалы времени, связанные с отчетностью, например, месяц, квартал, год. Однако выражения (1) (3) справедливы для любого момента времени t и любого интервала ∆t. В рамках данной статьи в дальнейшем примем, что ∆t — некоторый заданный постоянный интервал времени, имеющий смысл шага дискретности модели, а время t — дискретное, принимает заданные значения с шагом ∆t, начиная с t = t₀.

Дискретная модель процесса снабжения

Рассмотрим процесс снабжения производственного предприятия (рис. 1).

На этой схеме показано, что деньги U₁ с расчетного счета S₅₁ поступают к поставщикам S₆₀ на оплату сырья и материалов. Через определенное время t_log материалы U₂ поступают на склад S₁₀. Затем, по мере необходимости, материалы U₃ отпускают в производство S₂₀.

Рис. 1. Процесс снабжения производственного предприятия

Математическая модель склада описывается уравнением вида (3), где:

S(t) — количество сырья на складе в момент времени t;

S(t – ∆t) — количество сырья на складе в момент времени t – ∆t;

U_in(t) — приход сырья и материалов на склад за ∆t;

U_out(t) — расход сырья и материалов со склада за ∆t.

Таким образом, уравнение склада запишется в следующем виде:

S₁₀(t) = S₁₀(t – ∆t) + U₂(t) – U₃(t).                                                                                   (4)

Предположим, что задана программа выпуска продукции X_prog(t) для всех рассматриваемых t, начиная с t = t₀, то есть количество выпускаемой продукции за каждый интервал времени ∆t, начинающийся в момент t – ∆t. Тогда потребности в необходимом количестве материалов, труда и оборудования для производства продукции за интервал ∆t, соответствующий дискретному моменту t, определяются выражением (5), представляющим собой вектор с пропорциональными компонентами:

                                                                                                  (5)

где: X_prog(t) — заданная программа выпуска готовой продукции,

V_n(t) — необходимый объем материалов для производства X_prog(t) продукции,

V_i(t) — необходимый фонд рабочего времени для производства X_prog(t) продукции,

V_¦(t) — необходимый фонд станочного времени для производства X_prog(t) продукции,

K_n(t) — коэффициент материалоемкости единицы готовой продукции,

K_i(t) — коэффициент трудоемкости единицы готовой продукции,

K_t(t) — коэффициент фондоемкости единицы готовой продукции.

Таким образом, X_prog(t), в соответствии с выражением (5), определяет требуемое количество ресурсов, поступающих в производство.

Рассмотрим расход сырья и материалов со склада на производство. В случае, если материалов на складе достаточно для производства X_prog(t), со склада берется необходимое количество материалов V_n(t). В противном случае, если в наличии на складе материалов меньше, чем необходимо для производства X_prog(t), берется все имеющееся в наличии количество материалов, то есть S₁₀(t), и производится продукции столько, сколько позволяют эти материальные запасы.

Таким образом, расход материалов за интервал ∆t описывается следующим выражением:

U₃(t) = min(V_n(t); S₁₀(t)).                                                                                               (6)

Обычно поставщикам требуется некоторое время для доставки сырья и материалов на предприятие, следовательно, возникает задержка между моментом заказа сырья и материалов и их поступлением на склад. Обычно работа с поставщиками ведется по предоплате, поэтому предполагается, что задержка учитывается с момента оплаты партии товара. Отсюда поток U₂(t) поступлений на склад описывается следующим выражением:

U₂(t) = U₁(t – t_log),                                                                                                        (7)

где: U₂(t) — количество сырья и материалов, поступающих на склад за интервал ∆t к моменту времени t,

U₁(t – t_log) — количество денежных средств, поступивших за интервал ∆t на счет поставщиков t_log времени назад,

t_log — задержка по времени поставок материалов на склад.

Поскольку количество сырья и материалов зависит от количества денежных средств, имеющихся в распоряжении у предприятия, поток денежных средств поставщикам либо равен требуемому количеству сырья, то есть удовлетворяет требованиям производства при достаточном количестве денег, либо, если денежных средств не достаточно, мы закупаем столько сырья, на сколько это позволяет нам финансовое положение. Это можно описать уравнением следующего вида:

U₁(t) = min(V_n(t + t_log); S₅₁(t)),                                                                                        (8)

где: U₁(t) — исходящие денежные средства,

V_n(t + t_log) — требуемое количество денежных средств для закупки сырья и материалов,

S₅₁(t) — имеющиеся в распоряжении денежные средства.

Иллюстративный пример

Рассмотрим пример производства профнастила. На производстве установлен план, по которому планируется выпуск продукции по 400 пог. м. в день. На складе имеется запас сырья и материалов, достаточный для производства 1 600 пог. м. На расчетном счете лежит сумма денег, достаточная для закупки материалов на 10 000 пог. м. Задержка t_log принимается равной пяти дням, предполагается, что мы работаем с одним и тем же поставщиком, с их средним периодом поставки материалов. Расчеты предоставлены в таблице.

Т а б л и ц а

Результаты расчета

На рис. 2. отображен реальный выпуск продукции (сплошная линия) относительно запланированного (пунктирная линия). Как видим из графика, в течение первых шести дней наше производство справляется с планом, но после начинается дефицит ресурсов.

Более подробное движение сырья и материалов через склад отражено на рис. 3. в виде гистограммы.

Рис. 2. Производственная программа

На 5-й день производства, как видно в табл., мы оплатили поставку ресурсов на 3 000 пог. м., но они, с учетом задержки, пришли только на 9-й день. На графике это видно по прямой сплошной линии, означающей простой на предприятии.

Рис. 3. Движение сырья и материалов через склад

Чтобы догнать производственный план, мы заблаговременно заказывали материалы, а выпуск продукции подняли, что видно в таблице в столбце «заданная программа».

На 13-й день мы сравнялись с производственным планом, но не снизили темп выпуска, что отражено на графике подъемом сплошной линии над пунктирной. Но увеличенный выпуск продукции увеличил количество потребляемых ресурсов, и поставки, которые заказывали заранее, не соответствовали производственным потребностям, из-за чего начались простои на предприятии и общий выпуск продукции начал снижаться до требуемого.

На 17-й день была произведена последняя закупка сырья на 3 000 пог. м., после чего деньги на нашем расчетном счете закончились. На 22-й день на склад поступила последняя поставка и наших ресурсов хватало на производство продукции чуть выше запланированного уровня. На графике видно, как линии идут параллельно друг к другу. Но на 29-й день наши ресурсы закончились, и производство встало, вследствие чего производственный план не был выполнен на запланированном уровне.

Заключение

В данной статье представлена математическая модель, отражающая процесс снабжения производственного предприятия на основе регистров бухгалтерского учета. Представленная математическая модель позволяет строить прогнозные траектории процесса снабжения и решать ряд типовых задачи на предприятии, таких как:

·               планирование и прогнозирование производственной программы,

·               прогнозирование поставок ресурсов,

·               прогнозирование потребления ресурсов,

·               решение задач логистики,

·               ряд других задач.

Модель приводится в дискретном виде, однако может быть записана и в непрерывном виде. В этом случае она представляет собой систему дифференциальных и алгебраических уравнений с изменяющейся структурой. Опора на регистры бухгалтерского учета упрощает проблему идентификации модели и позволяет легко интерпретировать результаты.

Представленная модель может быть встроена как составляющая в общую математическую модель функционирования и развития предприятия.